4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio

Teorema de Rolle

De acuerdo con el teorema de Rolle, puede verse que si una función f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si ƒ(a) = ƒ(b), debe existir al menos un valor x entre a y b en el cual la gráfica de f tiene una tangente horizontal.

Ejemplo:

Comprobar que la función f(x) = x^2-4x+5 verifica la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

[1, 3].

hipótesis:

-La función es continua en el intervalo cerrado[1,3]

-Es derivable en el intervalo abierto (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = f(3)= 2

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (1, 3) con derivada nula en dicho punto. f'(c) = 0

f(x)= x^2-4x+5 f'(x)=2x-4

f'(c)=0 2c -4 = 0 c =2

El punto c = 2 pertenece [1,3]

Teorema del valor medio

El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorema del valor medio.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que

Interpretación geométrica

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

Ejemplo:

Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0, 1]:

En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1)

Continuidad:
La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1].

Derivabilidad:
La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es:

Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que:

teorema del valor medio para derivadas

Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema. Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:

Y calculamos f'(c):

teorema valor medio

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

Sustituyendo la x por la c:

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

ejercicios teorema valor medio