4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función

4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función.  

Que son los máximos y mínimos de una función?
Los máximos de una función son los valores mas grandes de la función y los mínimos de una función son los valores mas pequeños de la función. Los máximos y mínimos de una función son extremos relativos cuando solo son los valores mas grandes o mas pequeños de su entorno, pero son extremos absolutos cuando son los valores mas grandes o mas pequeños de toda la función.


También se pueden identificar los extremos relativos estudiando el crecimiento y decrecimiento de la función:
  • Un punto es un máximo relativo cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
  • Un punto es un mínimo relativo cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente.


Ejemplo como calcular los máximos y mínimos de una función:


Primero calculamos los extremos relativos de la siguiente función y determinamos si son máximos o mínimos:
                                                                       f(x) = x^3 - 3x

Los extremos relativos de la función serán aquellos puntos que cumplan f '(x) = 0. Por tanto, primero calculamos la derivada de la función:
                                                                      f '(x) = 3x^2 - 3

Y ahora igualamos la derivada de la función a cero y resolvemos la ecuación cuadrática resultante:


f'(x)=0

3x^2-3=0

3x^2=3

x^2=\cfrac{3}{3}

x^2=1

x= \pm 1

por tanto, los extremos relativos de la función son x=+1 y x=-1.

Una vez sabemos los extremos relativos de la función, podemos averiguar si son un máximo o un mínimo con el signo de la segunda derivada. Por lo que calculamos la segunda derivada de la función:

                                                                          f ''(x) = 6x

Y ahora evaluamos en la segunda derivada los extremos relativos que hemos encontrado antes, para averiguar si son un máximo o un mínimo relativo:


f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow  Mínimo relativo

f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow  Máximo relativo

La segunda derivada en x=1 es positiva, por lo que x=1 es un mínimo relativo. En cambio, la segunda derivada en x=-1 es negativa, de modo que x=-1 es un máximo relativo.

Por ultimo, sustituimos los puntos encontrados en la función original para halar la coordenada y  de los extremos relativos:

f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

En conclusión, los extremos relativos de la función son:

 Mínimo en el punto (1, -2)
Máximo en el punto (-1, 2)


                                                                                                                                                   María Saldivar


REFERENCIAS:

Máximos y mínimos de una función (extremos relativos). (n.d.). Funciones. https://www.funciones.xyz/maximos-y-minimos-de-una-funcion-extremos-relativos/

Requena Serra, B. (s. f.). Máximos y mínimos de una función. Universo Fórmulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/








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