Derivando Ideas

 4.12 La regla de L' Hopital La regla de L' Hopital es un método del cálculo diferencial que permite resolver límites que presentan formas indeterminadas, como 0/0 o ∞/∞, entre otras. Esta regla establece que, si dos funciones f(x) y g(x) son derivables en un entorno de un punto a , y al calcular el límite                                          se obtiene una indeterminación, entonces dicho límite puede evaluarse como:          si ese último límite existe. En otras palabras la regla de L' Hopital permite sustituir las funciones originales por sus derivadas para resolver el límite. Esto resulta muy útil en problemas donde la sustitución directa no puede encontrar una respuesta clara. Ejemplo: Al sustituir x=1  en el numerador y el denominador obtenemos 0/0, que es una indeterminación. Entonces podemos aplicar L' Hopital. Se derivan...

 4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales  El cálculo de aproximaciones usando diferenciales es un método que facilita calcular el valor de una función cuando hay un pequeño cambio en la variable. En lugar de buscar el valor exacto, que en ocasiones puede ser complicado de obtener, se recurre a la derivada para conseguir una estimación rápida. Para realizar esta aproximación con diferenciales, se utiliza una fórmula que proviene de la definición de la derivada como un límite.  La cual es: Esta relación permite aproximar el cambio real de la función ( Δy ) a través de su diferencial ( dx ), siempre que el cambio en la variable dx sea pequeño. Ejemplo:  Tenemos la función              Y su derivada es   Se toma                           Calculamos el pequeño cambio  Se calcula el diferencial  Se aproxima el valor Y el resultado es...

 4.10 Definición de Diferencial En cálculo, la definición de diferencial se refiere a una forma de describir cómo cambia una función cuando su variable independiente cambia un poco. ¿Qué es Diferencial? El diferencial de una función es una aproximación lineal al cambio real de la función. Si se tiene una función   y= f(x) ,  su diferencial se define como:                              En donde dx es un pequeño cambio en la variable x (puede ser cualquier número pequeño e infinitesimal). f ' (x) es la derivada de la función en ese punto. dy  es el cambio aproximado en y causado por dx .     | Si cambiamos x un poquito (dx), el diferencial nos dice cuánto cambia y aproximadamente (dy).       Es una forma lineal de aproximar funciones curvas. | Ejemplo: https://youtu.be/m1UQk2LEAEs?si=KbO6X3RN3SWIfng7   Referencias OpenStax. (s. f.). 4.2 Aproximaciones linea...

  4.8 Razones de cambio relacionadas Las razones de cambio relacionados se refieren a la velocidad o magnitud con la que una variable cambia respecto a otra cuando ambas están conectadas por una relación matemática.  Este tipo de razones permite comprender como dos o mas cantidades se afectan mutuamente a medida que pasa el tiempo. Por ejemplo en un problema de razones de cambio , se puede calcular la razón de cambios de una área respecto a un radio, o de la velocidad de un objeto respecto a una posición. Ejemplo de una razón de cambio relacionada Supongamos que un globo esférico se esta inflando  El radio del globo crece a una velocidad de    como el volumen de una esfera depende del radio mediante la formula al derivar respecto al tiempo obtenemos: para saber que velocidad aumenta el volumen cuando el radio mide 5 cm, sustituimos Referencias: Razón de cambio: qué es, cómo se calcula, ejemplos, ejercicios canek.azc.uam.mx Razones de cambio relacionadas   ...

  4.9 Problemas Optimizados Los problemas optimizados son aquellos en los que se busca determinar el valor mínimo o máximo de una función que depende de una o varias variables, respetando un conjunto de condiciones o restricciones previamente establecidas. Este proceso consiste en ajustar los valores de dichas variables para alcanzar la solución mas eficiente posible por dentro del espacio permitido. pasos para resolver problemas de optimización Definir la función: Establecer la función que se desea maximizar o minimizar en términos de variables especificas calcular la derivada: Obtener la derivada de la función y simplificarla Localizar los puntos críticos: Resolver la ecuación derivada igual a cero o identificar donde no esta definida Analizar la anatomía: Determinar el comportamiento de la función en intervalos alrededor de los puntos críticos Conclusiones: Tomar decisiones basadas en el análisis realizado y validar los resultados.             ...

 4.7 Análisis de la variación de una función. El análisis de la variación de una función y su graficación es el estudio de como cambia una función (crece, decrece, concavidad) a medida que x cambia, usando derivadas para encontrar puntos críticos (máximos, mínimos) y puntos de inflexión, y luego interpretado esta información (intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad) para dibujar su grafica de forma precisa, incluyendo asíntotas y raíces, para entender su comportamiento global. Pasos para el analisis y graficacion. Dominio y rango:  Determinar los valores posibles de x y v para establecer limites. Primera derivada f '(x): Encontrar f'(x) y sus raíces donde f '(x) = 0 para hallar puntos críticos (candidatos a máximos/mínimos). si f'(x)> 0, la función es creciente; si f'(x)<0, es decreciente. Segunda Derivada: Encontrar f ''(x) y sus raíces para posibles puntos de inflexión (cambio de concavidad). Si f ''(x)>0, cóncava hacia arriba ...

4.6 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos El criterio de la segunda derivada es una herramienta que nos permite determinar si un punto crítico de una función es un máximo , un mínimo , o si la prueba es inconclusa. primero: Un punto critico ocurre cuando f (x)=0 o cuando f (x) no existe. Criterio de la segunda derivada El criterio de la segunda derivada establece que si una función f (x) tiene un punto critico en x= c y la segunda derivada de la función es un punto expositiva , entonces el punto critico es un mínimo. Si la segunda derivada de la función es negativa, entonces el punto critico es el máximo. Este criterio nos permite distinguir entre los puntos críticos que son máximos y los que son mínimos. Si la segunda derivada es cero , entonces debemos utilizar otro criterio para determinar el tipo de punto critico. Referencias: Criterio de la segunda derivada (con ejemplos y demostración) Derivada Segunda: Criterio y Ejemplos Demostrativos        ...

  4.5 Concavidad y punto de inflexión de funciones Al localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece , podemos indicar sobre la grafica en donde se curva hacía arriba ; lo anterior se conoce como concavidad. CRITERIO DE CONCAVIDAD: Sea y = f (x) una función cuya grafica se convoca hacia arriba si su segunda derivada es positiva (y´´>0) y se convoca hacia abajo si su segunda derivada es negativa (y´´<0). PUNTOS DE INFLEXIÓN: Es aquel que se separa los arcos de una curva que tiene su concavidad en sentidos opuestos. En cada punto de inflexión la recta tangente cruza la curva , por lo que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos. Para encontrar los puntos de inflexión se requiere calcular los valores de x para los que la segunda derivada es igual a cero. REGLAS PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE INFLEXION Y EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA: Se determina la segunda derivada de la función dada  Se iguala a cero la segunda deriv...

  4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Que es la primera derivada? La primera derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de la función en un punto dado. Matemáticamente, la primera derivada se define como el limite de la razón incremental de la función cuando el tamaño del incremento  tiende a cero. En otras palabras, la primera derivada nos indica la inclinación de la curva de la función en un punto dado. Criterio de la primera derivada El criterio de la primera derivada establece que si una función f(x) tiene un máximo o mínimo en un punto x = c, entonces la primera derivada de la función en ese punto es igual a cero, es decir, f '(c)=0. En ese criterio nos indica que los puntos críticos de una función, donde f '(c) = 0, pueden ser máximos o mínimos de  la función. Sin embargo, también puede existir un punto critico donde la función no tenga ni un máximo ni un mínimo.                   ...

4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función.    Que son los máximos y mínimos de una función? Los máximos de una función son los valores mas grandes de la función y los mínimos de una función son los valores mas pequeños de la función. Los máximos y mínimos de una función son extremos relativos cuando solo son los valores mas grandes o mas pequeños de su entorno, pero son extremos absolutos cuando son los valores mas grandes o mas pequeños de toda la función. También se pueden identificar los extremos relativos estudiando el crecimiento y decrecimiento de la función: Un punto es un máximo relativo cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Un punto es un mínimo relativo cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Ejemplo como calcular los máximos y mínimos de una función: Primero calculamos los extremos relativos de la siguiente función y determinamos si son máximos o mínimos:                 ...

 4.2 Función Creciente y Decreciente. Función Creciente Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente (x), el valor de la función f(x) también aumenta.  En otras palabras, si se toman dos puntos en la función y el segundo tiene un valor de x mayor que el primero, el valor de f(x) en el segundo punto será mayor que el primero. Función Decreciente Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente (x), el valor de la función f(x) disminuye. Es decir, si se eligen dos puntos en la función y el segundo tiene un valor de x mayor que el primero, el valor de f(x) en el segundo punto será menor que el primero. Es importante mencionar que una misma función puede comportarse de dos maneras distintas: a veces subiendo (creciente) y a veces bajando (decreciente). Para saber cómo se se comporta, es necesario mirar en qué intervalo de valores de "x" la estamos observando.  Ejemplo: La función f(x)= x² se comporta de d...

 

4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio Teorema de Rolle De acuerdo con el teorema de Rolle, puede verse que si una función f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si ƒ(a) = ƒ(b), debe existir al menos un valor x entre a y b en el cual la gráfica de f tiene una tangente horizontal. Ejemplo: Comprobar que la función f(x) = x^2-4x+5 verifica la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo  [1, 3]. hipótesis: -La función es continua en el intervalo cerrado[1,3] -Es derivable en el intervalo abierto (1, 3) por ser polinómica. - f(1) = f(3)= 2 Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (1, 3) con derivada nula en dicho punto. f'(c) = 0 f(x)= x^2-4x+5          f'(x)=2x-4 f'(c)=0                       2c -4 = 0         c =2 El punto c = 2  pertenece [1,3] Teorema del valor medio El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorem...